素数研究是数论永恒的课题-广学课堂2018年，数学界的最高荣誉之一——阿贝尔奖颁发给了数学家罗伯特·朗兰兹，以表彰他对数学作出的终生成就。朗?

素数研究是数论永恒的课题-广学课堂
2018年，数学界的最高荣誉之一——阿贝尔奖颁发给了数学家罗伯特·朗兰兹，以表彰他对数学作出的终生成就。朗兰兹提出的纲领探讨了数论和调和分析之间的深层联系，这种联系被数学家用来解答与素数性质相关的问题。
2300多年以来，数学家一直都在试图更好的理解质数。可以说，相关的研究构成了数学史上最大最古老的数据集。我们不免好奇，质数如何能让数学家为之着迷上千年螺旋地带？
如何寻找质数？
为了研究素数，数学家将整数一个个通过他们的虚拟网格，将素数“筛选”出来。这种筛分过程在19世纪就产生了含有数百万个素数的表格。现代计算机可以用这种方法在不到一秒的时间内找到数十亿个素数。但筛分的核心思想却在2000多年间从没改变过。
数学家欧几里德（Euclid）在公元前300年写道：“只能为一个单位量测尽的数是素数。” 这意味着质数不能被除了1之外的任何数字整除。根据惯例，数学家不将1计为素数。
欧几里德证明了素数的无限性，但历史表明是埃拉托色尼（Eratosthenes）为我们提供了快速列出素数的筛分方法。
筛分的想法是这样的：首先依次过滤出2、3、5、7这四个素数的倍数。如果对2到100之间的所有数字执行这一操作，很快就会只剩下素数。

○在1到100之间筛分2、3、5、7的倍数，结果只会余下素数。|图片来源：M.H. Weissman
通过8个过滤步骤，就可以分离出400以内的全部素数。通过168个过滤步骤，可以分离出100万以内的所有素数。这就是埃拉托色尼筛法的力量英雄之轮。
表格×表格
为素数制表的早期人物代表是John Pell秦皇岛一中吧，一位致力于创建有用数字的表格的英国数学家。他的动力来源于想要解决古老的丢番图算术问题，同时也有着整理数学真理的个人追求。在他的努力之下，10万以内的素数得以在18世纪早期广泛传播。到了1800年，各种独立项目已列出了100万以内的素数庄俊维。
为了自动化冗长乏味的筛分步骤，德国数学家Carl Friedrich Hindenburg用可调节的滑动条在整页表格上一次排除所有倍数。另一种技术含量低但非常有效的方法是用漏字板来查找倍数的位置。到了19世纪中叶，数学家Jakob Kulik开始了一项雄心勃勃的计划，他要找出1亿以内的所有素数。

○Kulik 用来筛分3、7倍数的漏字板。|图片来源：A?AW, Nachlass Kulik ／Denis Roegel
若没有高斯等人对素数的研究，这个19世纪的“大数据”或许只能作为一张参考表。在有了这张包含300万以内所有素数的列表之后，高斯开始着手数它们，每次以1000为分界点分组。他找出1000以内的素数，然后再找出1000到2000之间的素数，然后是2000到3000之间孔庆翔，以此类推。
高斯发现，随着数值的增高，素数出现的频率会遵循“反对数”定律逐渐下降。虽然高斯定律没确切地给出素数的数量，但它给出了一个非常好的估计。例如他预测了从1,000,000至1,001,000之间大约有72个素数；而正确的计数是75个，误差值约为4％。
在高斯的第一次探索之后的一个世纪里，他的定律在“质数定理”中得到了证明。在数值越大的素数范围内，它的误差百分比接近于零。作为世界七大数学难题之一的黎曼假设，也描述了高斯估算的准确程度。
素数定理和黎曼假设都得到了应有的关注和资金，但这两者都是在早期不那么迷人的数据分析中得到的。
现代素数之谜
现在，我们的数据集来自计算机程序而非手工切割的漏字模板，但数学家仍在努力寻找素数中的新模式。
除了2和5之外，所有素数都以数字1、3、7、9结尾。在19世纪，数学家证明了这些可能的结尾数字有着同样的出现频率。 换句话说韩载硕，如果数100万以内的素数仙警，会发现大约25%的素数以1结尾，25%以3结尾，25%以7结尾，以及25%以9结尾。

○质数的结尾数字。除了2和5之外快闪之星，所有质数都以1、3、7、9结尾。|图片来源：theConversation
几年前，斯坦福大学的数论学家Robert Lemke Oliver和Kannan Soundararajan在一个观察素数和下一个素数的最后一位数字的实验中砺罂，发现了素数的结尾数的奇异之处。例如素数23之后的下一个素数是29，它们的结尾数字分别是3和9。那么是否在素数的结尾数中，3和9的出现要多过于3和7吗？

○在1亿以内的连续素数的结尾数字对的出现频率，相同的颜色对应于相同的间隔。| 图片来源：M.H. Weissman
数论学家预计会有一些变化，但他们的发现远远超出预期。素数与素数之间被不同大小的间隔分开；例如刘可雯，23与29之间相差6。但是像23和29那样的先以3再以9结尾的素数比先以7再以3结尾的素数要普遍得多灵山侠侣，尽管这两种素数组合的间隔都是6。
虽然数学家很快找到了合理的解释谦王煞妃。 但是，在研究连续素数时，数学家大多能做的仅限于数据分析和尽力说服。刘嘉楠而数学家用以解释某事物为何为真的黄金标准——证明，似乎仍距我们数十年之远。

全文详见：https://p66p.cn/26551.html

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